Domain decomposition in the Jacobi-Davidson method for eigenproblems

Abstract

Grootschalige eigenwaardeproblemen spelen een belangrijke rol in wetenschappelijk onderzoek naar een breed scala van fenomenen. Deze fenomenen hebben vaak niet de belangstelling van wetenschappers alleen, het betreffen ook verschijnselen die regelmatig in het nieuws komen zoals klimaatverandering en aardbevingen. Voor het berekenen van oplossingen voor grootschalige eigenwaardeproblemen is de afgelopen twee decennia een aanzienlijke vooruitgang gemaakt met de ontwikkeling van numerieke methoden. Een van de meest attractieve methoden is de Jacobi-Davidson methode.

De Jacobi-Davidson methode reduceert een groot eigenwaardeprobleem tot een klein probleem door het te projecteren op een geschikte laag dimensionale deelruimte. Benaderende oplossingen voor het grote probleem worden verkregen door middel van hoge precisie oplossingen van het kleine probleem. De crux van de methode is hoe de deelruimte wordt uitgebreid. De uitbreidingsvector van de deelruimte wordt berekend uit de zogenaamde correctie vergelijking. Het leven is helaas niet zo gemakkelijk: de correctie vergelijking op zichzelf vormt een groot lineair stelsel, met afmetingen gelijk aan die van het oorspronkelijke grote eigenwaardeprobleem. Dit is de reden dat het meeste rekenwerk van de Jacobi-Davidson methode voortkomt uit het berekenen van (benaderende) oplossingen voor de correctie vergelijking. Het proefschrift houdt zich bezig met de vraag hoe een preconditioneerder gebaseerd op domeindecompositie in de Jacobi-Davidson methode kan worden ingebed om het leven wat te veraangenamen voor PDV-achtige eigenwaardeproblemen.

Eerst worden in hoofdstuk 2 alternatieve correctie vergelijkingen voor de Jacobi-Davidson methode zonder reconditionering bestudeerd. Motivatie voor deze studie is de analogie met de geneste iteratieve methoden GMRESR en GCRO voor lineaire systemen. Bovendien kan het een remedie zijn in geval van een meervoudige eigenwaarde.

Na deze pilotstudie is het kader geschetst voor het inbedden van de domeindecompositie techniek in de Jacobi-Davidson methode. De techniek is gebaseerd op eerder werk van W.P. Tang en K.H. Tan & M.J.A. Borsboom voor lineaire systemen. Voor een lineair systeem heeft W.P. Tang voorgesteld het systeem met copieen van de onbekenden bij de interne rand tussen de subdomeinen uit te breiden om zo een additieve Schwarz methode met minimale overlap mogelijk te maken. K.H. Tan & M.J.A. Borsboom hebben dit idee verder verfijnd door in plaats van copieen juist virtuele onbekenden te introduceren voor deze onbekenden. Op deze manier worden extra vrijheidsgraden gecreeerd, die zich terugvertalen in koppelingsvergelijkingen voor onbekenden en virtuele tegenhangers bij de interne rand. Het idee is nu om deze koppelingsvergelijkingen af te stemmen voor het onderliggende eigenwaardeprobleem om zo de convergentie van de oplossingsmethode te versnellen. Echter, in de correctie vergelijking komt een operator voor waarbij een matrix is opgeschoven met een benaderende eigenwaarde. Daarom is speciale aandacht vereist bij het toepassen van de domeindecompositie methode op de correctie vergelijking. Het blijkt dat de eigenwaarde een kritieke rol speelt bij de selectie van optimale koppelings-vergelijkingen. Numerieke voorbeelden vergezellen de discussie in hoofdstuk 3 om een aantal karakteristieke eigenschappen te illustreren.

De benadering in hoofdstuk 3 is conceptueel van aard, hoofdstuk 4 behandelt juist een aantal praktische aspecten. In veel toepassingen hebben de eigenwaardeproblemen coefficienten die varieren over het fysische domein. Experimenteel wordt getoond hoe resultaten uit hoofdstuk 3 in geval van constante coefficienten toegepast kunnen worden in het geval van variabele coefficienten. Verschillende kenmerkende numerieke experimenten vergezellen de discussie. Aansluitend wordt aandacht besteed aan meer complexe geometrieen.

In het laatste hoofdstuk wordt verteld hoe, indien eenmaal een preconditioneerder gebaseerd op domeindecompositie is geconstrueerd voor de iteratieve berekening van oplossingen van de correctie vergelijking (de "binnenlus"), dit verder uitgebuit kan worden door het verband tussen de "binnenlus" en "buitenlus" (het iteratief berekenen van oplossingen voor het eigenwaardeprobleem met Jacobi-Davidson zelf) nader te beschouwen. Voor een hoge mate van parallellisme, dwz. voor een groot aantal subdomeinen, wordt het geobserveerde verschijnsel significant.