Abstract
Computers kunnen gebruikt worden om geometrische vormen te herkennen.
Dit heeft toepassingen zoals het automatisch lezen van handgeschreven tekst,
het zelfstandig oppakken van objecten door robots en het vinden van het meest
gelijkende plaatje op internet, gegeven een zoekplaatje. Gelijkenismaten zijn
een solide basis voor zulke technieken.
Dit proefschrift behandelt de wiskundige en algoritmische aspecten
... read more
van geli-
jkenismaten. Het eerste aspect heeft te maken met de vraag hoe de gelijkenis
tussen geometrische patronen zou moeten worden gemeten. Het tweede aspect
heeft te maken met de berekening van een gelijkenismaat en de minimalisatie
van de waarde van een gelijkenismaat onder geometrische transformaties.
In Hoofdstuk 2 presenteer ik een nieuwe theorie die gebruikt wordt voor
de analyse van verschillende gelijkenismaten. De aandacht ligt bij gelijkenis-
maten die pseudometrieken zijn op een collectie van deelverzamelingen van een
ruimte. Zoals de \grote-oh" notatie kan worden gebruikt om uitspraken te
doen over de ecientie van algoritmen, zo kan de nieuwe theorie in dit proef-
schrift worden gebruikt om zinvolle uitspraken te doen over de robuustheid
van gelijkenismaten. The theorie voor gelijkenismaten wordt toegepast in de
analyse van zowel bekende gelijkenismaten als nieuwe gelijkenismaten die wor-
den geintroduceerd in dit proefschrift. De bestaande gelijkenismaten zijn o.a.
de Hausdor metriek en het volume van het symmetrische verschil. De nieuwe
gelijkenismaten zijn o.a. het genormaliseerde volume van het symmetrische ver-
schil en de re ectie-zichtbaarheids afstand.
Eerst bespreek ik de theorie van algemene pseudometrische ruimten. Deze
verhandeling gaat onder meer over de transformatiegroep waaronder een pseu-
dometrische ruimte invariant is, de topologie behorende bij een pseudometrische
ruimte en de operaties die kunnen worden toegepast op een pseudometrische
ruimte. Ook laat ik zien hoe de minimalisatie van een pseudometriek onder een
transformatiegroep tot een nieuwe pseudometriek leidt die onafhankelijk is van
transformaties. Verder laat ik zien hoe een pseudometrische ruimte kan worden
uitgebreid met een nieuw element zonder dat de essenti?ele eigenschappen van
171?de oorspronkelijke ruimte verloren gaan. Deze techniek kan worden toegepast
om het domein van een gelijkenismaat uit te breiden met de lege verzameling.
Vervolgens introduceer ik een nieuwe structuur: de pseudometrische pa-
troonruimte. Deze structuur is rijker dan pseudometrische ruimten in het al-
gemeen. In het bijzonder maken pseudometrische ruimten de formalisatie van
verschillende soorten robuustheid mogelijk. In de vakliteratuur wordt het be-
lang van robuustheidseigenschappen voor een gelijkenismaat bevestigd. Echter,
zover ik weet, zijn dit soort eigenschappen tot nu toe nooit precies gemaakt. In
de vorm van vier axioma's druk ik vier soorten robuustheid uit. Deze vormen
van robuustheid heten vervormings robuustheid, vervagings robuustheid, barst
robuustheid en ruis robuustheid. Ik bewijs dat de axioma's zich netjes gedragen
onder de toepassing van verschillende standaard operaties op pseudometrische
patroonruimten.
Hierna geef ik een nieuwe methode waarmee verschillende pseudometrieken
op een collectie patronen kunnen worden geconstrueerd. De constructie meth-
ode is gebaseerd op de toekenningvan re?elwaardige functies aan patronen.
Ik bewijs dat eenvoudige voorwaarden op deze toekenning voldoende zijn om
de invariantie onder een gegeven transformatiegroep te garanderen. De con-
structie methode wordt op verschillende plaatsen in dit proefschrift toegepast,
resulterend in nieuwe gelijkenismaten.
De nieuw ontwikkelde theorie wordt eerst toegepast om de Hausdor me-
triek te analyseren. Dit resulteert in een aantal nieuwe resultaten voor de
Hausdor metriek. Ik breid een bestaan resultaat van Matheron [94] uit door te
laten zien dat de met de lege verzameling uitgebreide Hausdor metriek precies
de \bijziende" topologie denieert op de collectie van alle compacte deelverza-
melingen van een metrische \basisruimte". Deze topologie wordt vervolgens
gebruikt om eenvoudig te bewijzen dat de Hausdor metriek vervormings, ver-
vagings, en barst robuust is. Verder toon ik aan dat in een groot aantal gevallen
de Hausdor metriek niet ruis robuust is.
Vervolgens analyseer ik een andere gelijkenismaat, het volume van het sym-
metrische verschil. In de analyse komen de volgende nieuwe resultaten voort. Ik
bewijs dat het volume van het symmetrische verschil een topologie voortbrengt
die onvergelijkbaar is met die van de Hausdor metriek. Ook introduceer ik
een nieuwe gelijkenismaat die het genormaliseerde volume van het symmetrische
verschil wordt genoemd. Ik laat zien dat deze afstandmaat invariant is onder
ratio-van-volume behoudende transformaties. Verder bewijs ik dat het volume
van het symmetrische verschil en de genormaliseerde versie daarvan aan elk
van de vier robuustheidsaxioma's voldoen.
Verder introduceer ik een nieuwe gelijkenismaat: de re ectie-zichtbaarheids
afstand. De denitie hiervan is gebaseerd op de bovengenoemde construc-
tiemethode. De re ectie-zichtbaarheids afstand is een metriek op een vrij al-
172?gemene klasse van (k
show less